中学知识:正n多边形的面积公式

正n多边形的面积公式:S=1/2nR²sinφ=nr²tanφ/2。(R为正多边形外接圆半径,r为正多边形内切圆半径,φ为各边所对圆心角)。

正n多边形的面积公式

正n边形,具有n(正整数n≥3)条相等边的正多边形,其内角和为180(n-2)°,每个内角度数为180°(n-2)/n,外角和为360°。

正n边形都是轴对称图形;当正n边形的n为偶数时是中心对称图形。

正n多边形的面积公式推导过程:正弦定理知,在同一个三角形中,三角形的每边与每

角的正弦之比相等。即,a/sinA=b/sinB=c/sinC。如果知道其两边长度(a,b),及其夹角C,可以求出它的面积:S∆=0.5*a*b*sinC;把正n边形从其中心向各个顶点划分为n个全等的等腰三角形。其中,底边是已知边长,顶角即心角2π/n。求得底角为π/2-π/n,求腰长(即外接圆半径)r为a/sinβ*sinθ(β是顶角,θ是底角),用公式S∆=0.5*a*b*sinC,有S/n=(a/sinβ*sinθ)2sinβ/2;即:S=0.5*n*(a/sinβ*sinθ)²*sinβ。

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